Transformées de Laplace

 


 

haut du document Introduction

Il n'y a pas de fonctions déjà programmées dans la TI pour calculer la transformée de Laplace et la transformée inverse. Plusieurs sites en contiennent toutefois : les transformées directe et inverse programmées par Lars Fredericksen sont très performantes, acceptant même des fonctions de Heaviside et de Dirac! Suivez le lien ci-dessus pour obtenir ces programmes.

Ce que nous nous proposons de faire ici, c'est de montrer que l'on peut très bien se débrouiller en n'utilisant que les fonctions de base de la TI.


 

haut du document Transformée de Laplace

Notons d'abord que la transformée de Laplace est une intégrale impropre qui converge pour certaines valeurs du paramètre s :

La TI ne peut procéder si aucun domaine n'est spécifié pour s (figure 1).


Figure 1

 

Nous pourrions donc être tentés de définir la transformée de Laplace par une fonction
, mais la convergence serait lente... (figure 2 a). Nous pourrions éviter l'intégrale impropre en remarquant que l'évaluation à l'infini donne zéro : en effet, les fonctions dont on calcule la transformée de Laplace sont d'ordre exponentiel. Cela signifie que, en choisissant s suffisamment grand, on aura .
Une fois calculée l'intégrale indéfinie , il suffit (en supposant que f est continue partout et en utilisant le fait que la TI n'ajoute pas de constante d'intégration) de poser . La limite provient du fait que l'évaluation à t = 0 doit être calculée à la droite de zéro. Voyez la figure 2 b.

Figure 2 a


Figure 2 b

Abordons maintenant la transformée inverse, qui est un problème beaucoup plus sérieux.


 

haut du document Transformée de Laplace inverse

Considérons le calcul de la transformée inverse de
.
Il y aura ici une complétion de carré à effectuer: aussi bien le faire avant l'expansion en fractions partielles (figure 3).

 

On devrait connaître les correspondances suivantes de la table de transformées :

La réponse est donc

.

Figure 3 a


Figure 3 b


Figure 3 c

On peut aussi procéder par convolution : la propriété de convolution dit que si F(s) = X(s) H(s),
.

 

Nous avons ici

 

et la TI traite l'intégrale de convolution (voir la figure 4 a).

Les figures 4 b et 4 c montrent la simplification du résultat.


Figure 4 a


Figure 4 b


Figure 4 c

On peut également développer en fractions partielles en utilisant les nombres complexes. Dans la TI, une variable non déclarée est considérée réelle, mais si l'on ajoute un symbole de soulignement « _ » à cette variable, elle est considérée complexe. En effet, regardez comment la TI simplifie selon que s est réel ou complexe (figure 5).

Figure 5

À ce stade, la correspondance et la formule d'Euler permettront de calculer une transformée de Laplace inverse, une fois les fractions partielles complexes effectuées.

Reprenons notre exemple de ,
que nous appellerons g(s) ici.

 

 

Il est important de factoriser en nombres complexes (figure 6 a) avant de développer en fractions partielles; cette opération sera effectuée sous la contrainte que s est un nombre complexe (figures 6 b et 6 c).


Figure 6 a


Figure 6 b


Figure 6 c

Il suffit alors d'écrire, utilisant le fait que les racines complexes se présentent en paires conjuguées, z a été défini comme étant le nombre .

La TI conjugue un nombre complexe en utilisant « conj » (Figure 7).


Figure 7


 

haut du document Système d'équations différentielles et transformée de Laplace

La TI peut se montrer très utile pour résoudre, par transformée de Laplace, un système d'équations différentielles. La calculatrice traite les calculs longs et ennuyeux, l'utilisateur n'ayant qu'à lui indiquer les équations à résoudre.

Considérons le système suivant :

Une fois transformé dans le domaine du s, nous obtenons
Ici, X et Y désignent respectivement les transformées de Laplace de x et y. Finalement, en réécrivant notre système sous forme matricielle, nous avons donc à résoudre
La TI intervient, puis nous définissons nos matrices (figure 8). Nous choississons d'appeler la matrice des coefficients m, et celle de droite, b.

Figure 8

La bonne vieille méthode de Cramer en prend pour son rhume! En effet, la fonction « simult » de la TI permet de résoudre un système linéaire carré (figure 9) sans avoir à calculer les quotients de déterminants peu excitants (on aurait pu également taper et le résultat aurait été le même).

Figure 9

Il nous suffit de faire l'expansion en fractions partielles.
La commande « expand » fonctionne aussi sur les listes et matrices. La syntaxe de « expand » est expand(exp [, var]). (figure 10).

Figure 10

En utilisant notre table de transformées de Laplace, nous pouvons ainsi écrire que

.


Dernière révision : août 2005